삼각함수의 미분 공식 유도과정: 자세한 설명과 예시

고등학교 2학년이나 3학년 때 배우는 미적분에서 삼각함수 미분 공식을 배우게 됩니다. 이 공식은 삼각함수의 극한을 이용해서 유도할 수 있습니다.

삼각함수의 미분 공식을 유도하는 과정은 다음과 같습니다. 먼저, 삼각함수의 극한을 이용하여 미분 공식을 유도합니다. 예를 들어, sin x의 미분 공식을 유도하기 위해서는 다음과 같은 과정을 거칩니다.

1. sin x의 미분을 구하기 위해 미분의 정의를 이용합니다. 미분의 정의는 다음과 같습니다.

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f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) – f(x)] / h
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2. sin x의 미분을 구하기 위해 위의 미분의 정의에 sin x를 대입합니다.

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sin'(x) = lim(h->0) [sin(x+h) – sin(x)] / h
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3. sin(x+h)를 삼각함수의 합 공식을 이용하여 전개합니다.

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sin(x+h) = sin x cos h + cos x sin h
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4. sin(x+h)를 위의 공식으로 대입하고 극한값을 계산합니다.

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sin'(x) = lim(h->0) [sin x cos h + cos x sin h – sin x] / h
“`

“`
sin'(x) = lim(h->0) [sin x (cos h – 1) + cos x sin h] / h
“`

“`
sin'(x) = lim(h->0) [sin x (cos h – 1) / h] + lim(h->0) [cos x sin h / h]
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5. 극한값을 계산하기 위해 삼각함수의 극한 공식을 이용합니다.

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lim(h->0) (cos h – 1) / h = 0
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lim(h->0) sin h / h = 1
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6. 위의 극한값을 이용하여 sin x의 미분 공식을 유도합니다.

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sin'(x) = sin x * 0 + cos x * 1
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sin'(x) = cos x
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삼각함수의 미분 공식을 유도하는 과정은 위와 같습니다. 이 과정을 통해 삼각함수의 극한과 미분의 정의를 이용하여 삼각함수의 미분 공식을 유도할 수 있습니다.

삼각함수의 미분 공식은 미적분학에서 매우 중요한 역할을 합니다. 삼각함수는 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 사용되며, 삼각함수의 미분 공식은 이러한 분야에서 삼각함수를 이용한 문제를 해결하는 데 필수적인 도구입니다.